Geometria grupului de diferențieri simplectice (The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism)

Titlul original:

The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphism

Conținutul cărții:

Grupul difeomorfismelor hamiltoniene Ham(M, 0) ale unei mani- plii simplectice (M, 0) joacă un rol fundamental atât în geometrie, cât și în mecanica clasică. Pentru un geometru, cel puțin în anumite ipoteze privind mulțimea M, aceasta este doar componenta conectată a identității în grupul tuturor difeomorfismelor simplectice.

Din punctul de vedere al mecanicii, Ham(M, O) este grupul tuturor mișcărilor admisibile. Care este cantitatea minimă de energie necesară pentru a genera un anumit diffeomorfism hamiltonian I? O încercare de a formaliza și de a răspunde la această întrebare naturală l-a condus pe H. Hofer HI) (1990) la o descoperire remarcabilă.

Se pare că soluția acestei probleme variaționale poate fi interpretată ca o mărime geometrică, și anume ca distanța dintre I și transformarea identitate. În plus, această distanță este asociată cu o metrică canonică biinvariantă pe Ham(M, 0).

De la lucrările lui Hofer, această nouă geometrie a fost intens studiată în cadrul topologiei simplectice moderne. În cartea de față voi descrie unele dintre aceste evoluții.

Geometria lui Hofer ne permite să studiem diverse noțiuni și probleme care provin din geometria binecunoscută de dimensiune finită în contextul grupului de difeomorfisme hamiltoniene. Acestea se dovedesc a fi foarte diferite de cercul obișnuit de probleme considerate în topologia simplectică și, astfel, extind semnificativ viziunea noastră asupra lumii simplectice.