Geometrie algebrică și curbe aritmetice

Recenzii ale cititorilor

Cartea este în general bine primită ca text însoțitor al cărții lui Hartshorne despre geometria algebrică, fiind lăudată în special pentru claritatea sa în teoria schemelor și pentru accentul pus pe aplicațiile aritmetice. Cu toate acestea, a fost remarcat faptul că unele dovezi ar putea fi mai clare, iar anumite subiecte importante nu sunt acoperite suficient.

⬤ Excelent companion pentru cartea lui Hartshorne
⬤ explicații clare și pătrunzătoare
⬤ multe exemple concrete și contraexemple
⬤ adaptat pentru mințile aritmetice
⬤ oferă o bună bază în teoria schemelor
⬤ mai ușor de citit decât cartea lui Hartshorne
⬤ conținut substanțial comparativ cu cartea lui Shafarevici.

⬤ Unele demonstrații nu sunt clare și sunt prezentate în moduri ad hoc
⬤ anumite subiecte importante sunt acoperite insuficient
⬤ nu face referire la limbaje mai vechi
⬤ ultimele părți se bazează pe rezultatele algebrei comutative citate
⬤ unii utilizatori sugerează să fie însoțită de Hartshorne sau de alte lucrări pentru o înțelegere completă.

(pe baza a 6 recenzii ale cititorilor)

Titlul original:

Algebraic Geometry and Arithmetic Curves

Conținutul cărții:

Această nouă ediție în format paperback oferă o introducere generală în geometria algebrică și aritmetică, începând cu teoria schemelor, urmată de aplicații la suprafețele aritmetice și la teoria reducerii curbelor algebrice.

Prima parte prezintă obiecte de bază precum schemele, morfismele, schimbarea bazei, proprietățile locale (normalitate, regularitate, teorema principală a lui Zariski). Acesta este urmat de aspectul mai global: teci coerente și o teoremă de finitudine pentru grupurile lor de cohomologie. Urmează apoi un capitol despre sheaves de diferențiale, sheaves de dualizare și teoria dualității lui Grothendieck. Prima parte se încheie cu teorema lui Riemann-Roch și aplicarea sa la studiul curbelor proiective netede peste un câmp. Curbele singulare sunt tratate prin intermediul unui studiu detaliat al grupului Picard.

A doua parte începe cu exploziile și desingularizarea (încorporată sau nu) suprafețelor fibrate peste un inel Dedekind, ceea ce conduce la teoria intersecțiilor pe suprafețe aritmetice. Se demonstrează criteriul lui Castelnuovo și, de asemenea, existența modelului regulat minim. Aceasta conduce la studiul reducerii curbelor algebrice. Cazul curbelor eliptice este studiat în detaliu. Cartea se încheie cu teorema fundamentală a reducerii stabile a lui Deligne-Mumford.

Această carte este în esență de sine stătătoare, incluzând materialul necesar privind algebra comutativă. Precondițiile sunt puține și, incluzând multe exemple și aproximativ 600 de exerciții, cartea este ideală pentru studenții absolvenți.