Matrici aleatorii și probabilități necomutative

Titlul original:

Random Matrices and Non-Commutative Probability

Conținutul cărții:

Aceasta este o carte introductivă privind probabilitatea necomutativă sau probabilitatea liberă și matricele aleatoare de dimensiuni mari. Conceptele de bază ale probabilității libere sunt introduse prin analogie cu probabilitatea clasică într-un mod lucid și rapid. Se dezvoltă apoi rezultatele privind convergența matricelor aleatoare de dimensiuni mari, cu un accent deosebit pe conexiunile interesante cu probabilitatea liberă. Cartea nu presupune aproape nicio condiție prealabilă în cea mai mare parte. Cu toate acestea, familiarizarea cu conceptele de convergență de bază în probabilitate și un pic de maturitate matematică vor fi utile.

⬤ Proprietățile combinatorii ale partițiilor necruțătoare, inclusiv funcția Mbius, joacă un rol central în introducerea probabilității libere.

⬤ Independența liberă este definită prin cumulanți liberi, în analogie cu modul în care independența clasică poate fi definită prin cumulanți clasici.

⬤ Cumulanții liberi sunt introduși prin intermediul funcției Mbius.

⬤ Spațiile de probabilitate cu produs liber sunt construite cu ajutorul cumulanților liberi.

⬤ Se discută convergența marginală și tracială comună a matricilor aleatoare de dimensiuni mari, cum ar fi matricele Wigner, eliptice, covarianța eșantionului, covarianța încrucișată, Toeplitz, Circulant și Hankel.

⬤ Convergența distribuției spectrale empirice este discutată pentru matrice simetrice.

⬤ Sunt discutate în detaliu rezultatele asimptotice de libertate pentru matricele aleatoare, inclusiv unele recente. Acestea clarifică structura limitelor pentru convergența comună a matricelor aleatoare.

⬤ Libertatea asimptotică a matricilor de covarianță ale eșantioanelor independente este, de asemenea, demonstrată prin încorporarea în matrici Wigner.

⬤ Exercițiile, la nivel avansat de licență și absolvire, sunt furnizate în fiecare capitol.