Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: De la operatori spectrali la tranziții de fază și universalitate

Titlul original:

Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality

Conținutul cărții:

Studiul relației dintre geometria, aritmetica și spectrele fractalilor a fost un subiect de interes semnificativ în matematica contemporană. Această carte contribuie la literatura pe această temă în mai multe moduri diferite și noi. În special, autorii oferă un studiu riguros și detaliat al operatorului spectral, o hartă care trimite geometria șirurilor fractale pe spectrul lor. În acest scop, ei utilizează și dezvoltă metode din geometria fractală, analiza funcțională, analiza complexă, teoria operatorilor, ecuațiile cu derivate parțiale, teoria analitică a numerelor și fizica matematică. Inițial, M L Lapidus și M van Frankenhuijsen au introdus "euristic" operatorul spectral în dezvoltarea teoriei corzilor fractale și a dimensiunilor lor complexe, în special în reinterpretarea lucrărilor anterioare ale lui M L Lapidus și H Maier privind problemele spectrale inverse pentru corzile fractale și ipoteza Riemann. Una dintre temele principale ale cărții este de a oferi un cadru riguros în care întrebarea corespunzătoare "Se poate auzi forma unui șir fractal? ' sau, echivalent, 'Se pot obține informații despre geometria unui șir fractal, având în vedere spectrul său? ' poate fi reformulată în termeni de invertibilitate sau cvasi-invertibilitate a operatorului spectral.

Deplasarea infinitezimală a liniei reale este mai întâi definită precis ca un operator de diferențiere pe o familie de spații Hilbert ale funcțiilor pe linia reală, ponderate corespunzător și indexate printr-un parametru dimensional c. Apoi, operatorul spectral este definit prin intermediul calculului funcțional ca o funcție a deplasării infinitezimale. În acest fel, el este văzut ca un analog "cuantic" natural al funcției zeta Riemann. Mai precis, în acest cadru, operatorul spectral este definit ca harta compusă a funcției Riemann zeta cu deplasarea infinitezimală, privită ca un operator normal nemărginit care acționează asupra spațiului Hilbert de mai sus. Se arată că cvasi-invertibilitatea operatorului spectral este strâns legată de existența zerourilor critice ale funcției Riemann zeta, ceea ce conduce la o nouă reformulare spectrală și teoretică a operatorilor a ipotezei Riemann. În consecință, operatorul spectral este cvasi-invertibil pentru toate valorile parametrului dimensional c în intervalul critic (0,1) (altul decât în cazul fractal mediu, când c =1/2) dacă și numai dacă ipoteza Riemann (RH) este adevărată. O reformulare înrudită, dar aparent foarte diferită, a RH, datorată celui de-al doilea autor și denumită "criteriu asimetric pentru RH", este, de asemenea, discutată în detaliu: și anume, operatorul spectral este inversabil pentru toate valorile lui c în intervalul critic stâng (0,1/2) dacă și numai dacă RH este adevărată.

Aceste reformulări spectrale ale RH au condus, de asemenea, la descoperirea mai multor "tranziții de fază matematice" în acest context, pentru forma spectrului, invertibilitatea, limitarea sau necuprinderea operatorului spectral, și care apar fie în cazul fractal mediu, fie în cazul cel mai fractal, atunci când dimensiunea fractală de bază este egală cu 1/2, respectiv 1. În special, dimensiunea fractală medie c=1/2 joacă rolul unui parametru critic în fizica statistică cuantică și în teoria tranzițiilor de fază și a fenomenelor critice. În plus, autorii oferă un "analog cuantic" al teoremei clasice a lui Voronin privind universalitatea funcției Riemann zeta. În plus, ei obțin și studiază omologii cuantici ai seriei Dirichlet și ai produsului Euler pentru funcția Riemann zeta, despre care se demonstrează că converg (într-un sens adecvat) chiar și în interiorul benzii critice. Din motive pedagogice, cea mai mare parte a cărții este dedicată studiului funcției Riemann zeta cuantificată. Cu toate acestea, se așteaptă ca rezultatele obținute în această monografie să conducă la o cuantificare a majorității funcțiilor zeta aritmetice clasice, prin urmare, la o "cuantificare naturală" suplimentară a diferitelor aspecte ale teoriei analitice a numerelor și ale geometriei aritmetice.

Cartea ar trebui să fie accesibilă deopotrivă experților și neexperților, inclusiv studenților absolvenți de matematică și fizică și cercetătorilor postdoctorali, interesați de geometria fractală, teoria numerelor, teoria operatorilor și analiza funcțională, ecuațiile diferențiale, analiza complexă, teoria spectrală, precum și de fizica matematică și teoretică. Ori de câte ori este necesar, sunt furnizate informații de bază adecvate cu privire la diferitele subiecte implicate, iar noua lucrare este plasată în contextul său istoric adecvat. De asemenea, sunt incluse mai multe anexe care completează textul principal.