Residuated Lattices: O privire algebrică asupra logicii substructurale: volumul 151

Recenzii ale cititorilor

În prezent, nu există recenzii ale cititorilor. Evaluarea se bazează pe 2 voturi.

Titlul original:

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Conținutul cărții:

Cartea este menită să servească două scopuri. Primul și cel mai evident este acela de a prezenta rezultatele de ultimă oră ale cercetării algebrice în domeniul structurilor reziduale legate de logica substructurală. Al doilea, mai puțin evident, dar la fel de important, este de a oferi o introducere rezonabil de blândă în logica algebrică. La început, cel de-al doilea obiectiv este predominant. Astfel, în primele câteva capitole cititorul va găsi un abecedar de algebră universală pentru logicieni, un curs intensiv de logică neclasică pentru algebrăticieni, o introducere în structurile reziduate, o schiță a calculelor de tip Gentzen, precum și câteva fragmente de teorie a probelor - printre care celebra Hauptsatz sau teorema eliminării tăieturilor. Acestea conduc în mod natural la o discuție a interconexiunilor dintre logică și algebră, în care încercăm să demonstrăm cum acestea formează două fețe ale aceleiași monede. Avem în vedere faptul că capitolele inițiale ar putea fi utilizate ca manual pentru un curs universitar, intitulat poate Algebra și logica substructurală.

Pe măsură ce cartea avansează, primul obiectiv predomină asupra celui de-al doilea. Deși punctul exact al echilibrului ar fi dificil de specificat, se poate spune că intrăm în partea tehnică prin discutarea diferitelor completări ale structurilor reziduale. Acestea includ completările Dedekind-McNeille și extensiile canonice. Completările sunt utilizate ulterior în investigarea mai multor proprietăți de finitudine, cum ar fi proprietatea modelului finit, generarea de varietăți prin membrii lor fini și încorporabilitatea finită. Analiza algebrică a eliminării tăieturilor care urmează recurge, de asemenea, la completări. Urmează decidabilitatea logicii, a teoriilor ecuaționale și cvasi-ecuaționale, unde arătăm cum metodele teoretice de demonstrare, precum eliminarea tăieturilor, sunt preferabile pentru logici/teorii mici, dar instrumentele semantice precum teorema lui Rabin funcționează mai bine pentru cele mari. Apoi ne întoarcem la teorema lui Glivenko, care spune că o formulă este o tautologie intuiționistă dacă și numai dacă dubla sa negație este una clasică. Generalizăm această teoremă la cadrul substructural, identificând pentru fiecare logică substructurală clasa sa de echivalență Glivenko cu cel mai mic și cel mai mare element. Acesta este, de asemenea, momentul în care începem să investigăm rețelele de logici și varietăți, mai degrabă decât exemple particulare. Continuăm în această direcție prezentând o serie de rezultate privind varietățile minime/logicile maxime.

O teoremă tipică spune că, pentru o anumită varietate bine cunoscută, rețeaua sa de subvarietăți are un număr exact de membri minimali (unde valorile pentru "așa și așa" includ, fără a se limita la, continuum, număr numeric și doi). În ultimele două capitole ne concentrăm asupra rețelei de varietăți corespunzătoare logicii fără contracție. Într-unul dintre acestea, demonstrăm un rezultat negativ: că nu există împărțiri nontriviale în acel soi. În celălalt, dovedim unul pozitiv: că varietățile semisimple coincid cu cele discriminatoare.

În cadrul celei de-a doua părți a cărții, mai tehnică, se poate urmări un alt proces de tranziție. Și anume, începem cu tehnicile cu înclinație logică și terminăm cu cele cu înclinație algebrică. Aici, poate, redarea algebrică a teoremelor lui Glivenko marchează punctul de echilibru, cel puțin în sensul că proprietățile de finitudine, decidabilitatea și teoremele lui Glivenko prezintă un interes clar pentru logicieni, în timp ce semisimplitatea și varietățile discriminatorului sunt algebra universală prin excelență. Cititorului îi revine sarcina de a judeca dacă am reușit să împletim aceste fire într-o țesătură fără cusături.