Teoria Polyfold și Fredholm

Titlul original:

Polyfold and Fredholm Theory

Conținutul cărții:

Această carte este pioniera unei teorii Fredholm neliniare într-o clasă generală de spații numite polifolii. Teoria generalizează anumite aspecte ale analizei neliniare și geometriei diferențiale și le combină cu un pic de teorie a categoriilor pentru a încorpora simetrii locale. În ceea ce privește geometria diferențială, cartea introduce o clasă largă de spații și fascicule "netede" care pot avea dimensiuni local variabile (finite sau infinit-dimensionale). Aceste fascicule vin cu o clasă importantă de secțiuni, care prezintă proprietăți ce amintesc de teoria Fredholm neliniară clasică și permit teoreme ale funcțiilor implicite. În acest cadru de analiză neliniară, este dezvoltată o teorie versatilă a transversalității și a perturbațiilor pentru a acoperi, de asemenea, setările echivariante.

Teoria prezentată în această carte a fost inițiată de autori în perioada 2007-2010, motivată de problemele modulelor neliniare în geometria simplectică. Astfel de probleme sunt de obicei descrise local ca sisteme eliptice neliniare și trebuie să fie studiate până la o noțiune de izomorfism. Acest lucru introduce simetrii, deoarece un astfel de sistem poate fi izomorf cu el însuși în moduri diferite. Fenomenele de bubbling-off sunt frecvente și trebuie să fie complet înțelese pentru a produce invariante algebrice. Acest lucru necesită o teorie a transversalității pentru fenomenele de bubbling-off în prezența simetriilor. De foarte multe ori, chiar și în aplicații concrete, perturbațiile geometrice nu sunt suficient de generale pentru a obține transversalitatea și trebuie luate în considerare perturbațiile abstracte. Teoria este deja aplicată cu succes la aplicațiile prevăzute în geometria simplectică și ar trebui să găsească aplicații în multe alte domenii în care se întâlnesc ecuațiile cu derivate parțiale, geometria și analiza funcțională.

Scris de autorii săi, Polyfold and Fredholm Theory este un tratat autoritar și cuprinzător al teoriei polyfold. Acesta se va dovedi neprețuit pentru cercetătorii care studiază problemele eliptice neliniare care apar în contexte geometrice.