Teoria spectrală a operatorilor în spațiul Hilbert

Titlul original:

Spectral Theory Of Operators In Hilbert Space

Conținutul cărții:

Prelegerile de față își propun să ofere o introducere în analiza spectrală a operatorilor autojugați în cadrul teoriei spațiului Hilbert. Noțiunea călăuzitoare în această abordare este aceea de reprezentare spectrală.

În același timp, se pune accentul pe noțiunea de funcție a unui operator. Definiția spațiului Hilbert: În matematică, un spațiu Hilbert este un spațiu vectorial real sau complex cu o formă hermitiană pozitiv-definită, care este completă sub norma sa. Astfel, este un spațiu cu produs intern, ceea ce înseamnă că are noțiuni de distanță și de unghi (în special noțiunea de ortogonalitate sau perpendicularitate).

Cerința de completitudine asigură faptul că, pentru spațiile Hilbert cu dimensiuni infinite, limitele există atunci când se așteaptă, ceea ce facilitează diverse definiții din calcul. Un exemplu tipic de spațiu Hilbert este spațiul secvențelor pătratice însumabile.

Spațiile Hilbert permit aplicarea unor concepte geometrice simple, cum ar fi proiecția și schimbarea bazei, la spații cu dimensiuni infinite, cum ar fi spațiile funcțiilor. Spațiile Hilbert oferă un context pentru formalizarea și generalizarea conceptelor de serie Fourier în termeni de polinoame ortogonale arbitrare și de transformată Fourier, care sunt concepte centrale din analiza funcțională.

Spațiile Hilbert sunt de o importanță crucială în formularea matematică a mecanicii cuantice.