Un curs de calcul al variațiilor: Optimizare, regularitate și modelare

Titlul original:

A Course in the Calculus of Variations: Optimization, Regularity, and Modeling

Conținutul cărții:

Această carte oferă o introducere în tema largă a calculului variațiilor. Ea abordează cele mai naturale întrebări privind problemele variaționale și complexitățile matematice pe care acestea le prezintă.

Începând cu modelarea științifică care motivează subiectul, cartea abordează apoi întrebări matematice precum existența și unicitatea soluțiilor, caracterizarea lor în termeni de ecuații cu derivate parțiale și regularitatea lor. Ea include atât rezultate clasice, cât și recente privind problemele variaționale unidimensionale, precum și adaptarea la cazul multidimensional. Aici, convexitatea joacă un rol important în stabilirea rezultatelor semicontinuității și a conexiunilor cu tehnicile de optimizare, iar dualitatea convexă este chiar utilizată pentru a produce rezultate de regularitate. Urmează apoi teoria mai clasică a regularității Hölder pentru PDE eliptice și unele probleme variaționale geometrice pe seturi, inclusiv inegalitatea izoperimetrică și problema arborelui Steiner. Cartea se încheie cu un capitol privind limitele secvențelor de probleme variaționale, exprimate în termeni de convergență Γ.

Deși conceput în principal pentru cursuri de masterat și cursuri avansate, acest manual, bazat pe experiența de instruire a autorului său, oferă, de asemenea, perspective originale care pot fi de interes pentru doctoranzi și cercetători. Este necesară o înțelegere fundamentală a teoriei măsurii și a analizei funcționale, dar toate conceptele esențiale sunt reiterate pe parcursul cărții folosind casete memo speciale.