Un ghid de bază pentru problemele de unicitate pentru ecuațiile diferențiale evolutive

Titlul original:

A Basic Guide to Uniqueness Problems for Evolutionary Differential Equations

Conținutul cărții:

Această carte abordează problema unicității unei soluții la o problemă - un subiect foarte important în știință și tehnologie, în special în domeniul ecuațiilor cu derivate parțiale, unde unicitatea garantează că anumite ecuații cu derivate parțiale sunt suficiente pentru a modela un anumit fenomen.

Această carte se dorește a fi o scurtă introducere în problemele de unicitate pentru problemele cu valoare inițială. Adesea, noțiunea de soluție este atenuată pentru a include soluții nediferențiabile. O astfel de soluție se numește soluție slabă. Este mai ușor de găsit o soluție slabă, dar este mai dificil de stabilit unicitatea acesteia. Această carte examinează trei ecuații foarte fundamentale: ecuațiile diferențiale ordinare, legile scalare de conservare și ecuațiile Hamilton-Jacobi. Pornind de la inegalitatea standard Gronwall, această carte discută ecuații diferențiale ordinare mai puțin obișnuite. Ea include o introducere a subiectelor avansate, cum ar fi teoria operatorilor monotoni maximali, precum și ceea ce se numește teoria DiPerna-Lions, care este încă un domeniu de cercetare activ. Pentru legile de conservare, este explicată unicitatea soluției de entropie, o soluție slabă specială (discontinuă). Pentru ecuațiile Hamilton-Jacobi, sunt stabilite mai multe rezultate de unicitate pentru o soluție de vâscozitate, un fel de soluție slabă nediferențiabilă. De asemenea, se discută unicitatea soluției discontinue de vâscozitate. Se oferă o demonstrație detaliată pentru fiecare afirmație de unicitate.

Se așteaptă ca cititorul să învețe diverse idei și tehnici fundamentale în analiza matematică pentru ecuațiile cu derivate parțiale prin stabilirea unicității. Nu sunt necesare alte condiții prealabile decât calculul simplu și algebra liniară. Pentru confortul cititorului, la sfârșitul acestei cărți este prezentată o listă de terminologie de bază.