Ecuații diferențiale parțiale

Titlul original:

Partial Differential Equations

Conținutul cărții:

Aceasta este o versiune revizuită și extinsă a introducerii mele elementare din 1995 la ecuațiile di? erentiale parțiale. Materialul este în esență același, cu excepția a trei capitole noi.

Primul (capitolul 8) este despre ecuațiile neliniare de ordinul întâi și, în special, despre ecuațiile Hamilton-Jacobi. Acesta se bazează pe ideea continuă că PDE-urile, deși sunt o ramură a analizei matematice, sunt strâns legate de modelele fenomenelor fizice. O astfel de fizică subiacentă oferă, la rândul său, idei de solvabilitate.

Abordarea variațională Hopf a problemei Cauchy pentru ecuațiile Hamilton-Jacobi este unul dintre cele mai clare și mai incisive exemple ale unei astfel de interacțiuni.

Metoda este un amestec perfect de mecanică clasică, prin rolul și proprietățile Lagrangianului și Hamiltonianului, și calculul variațiilor. O problemă delicată este aceea a identificării "claselor de unicitate".

"S-a încercat să se extragă condițiile geometrice de pe graficul soluțiilor, cum ar fi cvasi-concavitatea, pentru ca unicitatea să fie valabilă. Capitolul 9 este o introducere în formulările slabe, spațiile Sobolev și metodele variaționale directe pentru ecuațiile liniare și cvasi-lineareliptice. Deși concis, materialul privind spațiile Sobolev este destul de complet, cel puțin pentru un utilizator de EDP.

Cuprinde toate teoremele de bază de încadrare, inclusiv dovezile lor, și teoria urmelor. Formulările slabe ale problemelor Dirichlet și Neumann se bazează pe acest material. Metodele variaționale și Galerkin conexe, precum și problemele cu valori proprii, sunt prezentate în cadrul lor slab.