Recenzii ale cititorilor
În prezent, nu există recenzii ale cititorilor. Evaluarea se bazează pe 73 voturi.
Titlul original:
Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Conținutul cărții:
Acest text prezintă o introducere de nivel universitar la geometria diferențială pentru studenții de matematică și fizică. Expunerea urmărește dezvoltarea istorică a conceptelor de conexiune și curbură cu scopul de a explica teoria Chern-Weil a claselor caracteristice pe un fascicul principal. Pe parcurs întâlnim unele dintre punctele culminante din istoria geometriei diferențiale, de exemplu, Teorema Egregium a lui Gauss și teorema Gauss-Bonnet. Exercițiile de-a lungul cărții testează înțelegerea materialului de către cititor și uneori ilustrează extensii ale teoriei. Inițial, condițiile prealabile pentru cititor includ o familiaritate trecătoare cu mulțimile. După primul capitol, devine necesară înțelegerea și manipularea formelor diferențiale. O cunoaștere a cohomologiei de Rham este necesară pentru ultima treime a textului.
Materialele prealabile sunt cuprinse în textul autorului, An Introduction to Manifolds, și pot fi învățate într-un semestru. Pentru beneficiul cititorului și pentru a stabili notații comune, apendicele A reamintește elementele de bază ale teoriei manifestărilor. În plus, în încercarea de a face expunerea mai autonomă, sunt incluse secțiuni privind construcții algebrice precum produsul tensorial și puterea exterioară.
Geometria diferențială, după cum sugerează și numele său, este studiul geometriei folosind calculul diferențial. Ea datează de la Newton și Leibniz din secolul al XVII-lea, dar abia în secolul al XIX-lea, odată cu lucrările lui Gauss asupra suprafețelor și Riemann asupra tensorului de curbură, geometria diferențială a înflorit și au fost puse bazele sale moderne. În ultimii o sută de ani, geometria diferențială s-a dovedit indispensabilă pentru înțelegerea lumii fizice, în teoria generală a relativității a lui Einstein, în teoria gravitației, în teoria gauge, iar acum în teoria corzilor. Geometria diferențială este, de asemenea, utilă în topologie, în domeniul mai multor variabile complexe, în geometria algebrică, în mulțimile complexe și în sistemele dinamice, printre alte domenii. Acest domeniu a găsit aplicații chiar și în teoria grupurilor, precum în lucrările lui Gromov, și în teoria probabilităților, precum în lucrările lui Diaconis. Nu este prea exagerat să susținem că geometria diferențială ar trebui să facă parte din arsenalul oricărui matematician.
