Teoria clasificării pentru clasele abstracte elementare: Volumul 2

Titlul original:

Classification Theory for Abstract Elementary Classes: Volume 2

Conținutul cărții:

O clasă abstractă elementară (AEC) este o clasă de structuri cu un vocabular fix care satisface anumite proprietăți naturale de închidere. Aceste clase cuprind clasele normale definite în teoria modelelor, iar exemplele naturale provin din practica matematică, de exemplu în algebră, fără a menționa logica de ordinul întâi și logica infinitară.

O AEC este întotdeauna dotată cu o relație de substructură specială care nu este întotdeauna cea evidentă. Clasele elementare abstracte oferă o cale de ieșire din fundătura teoriei modelului limbajelor infinitare, care a apărut din cauza concentrării excesive asupra criteriilor sintactice. Acesta este al doilea volum al unei monografii în două volume privind clasele elementare abstracte.

Acesta este destul de autonom și abordează trei probleme separate. Prima este tema claselor universale, și anume clase de structuri cu un vocabular fix, astfel încât o structură aparține clasei dacă și numai dacă fiecare substructură generată finit aparține clasei.

Apoi, derivăm dintr-o ipoteză privind numărul de modele, existența unui cadru (aproape) bun. Noțiunea de cadru este o generalizare naturală a conceptului de superstabilitate de prim ordin la acest context. Presupunerea spune că GCH slab este valabil pentru un cardinal $\lambda$, succesorul și dublul său succesor, iar clasa este categorică în primele două cazuri și are o valoare intermediară pentru numărul de modele în al treilea caz.

În special, putem concluziona din acest argument existența unui model în cardinalul următor. În cele din urmă, ne ocupăm de partea non-structurală a subiectului, și anume obținerea multor modele neizomorfe în succesorul dublu al $ \lambda$ sub ipoteze relevante, ne ocupăm, de asemenea, de cadrele aproape bune în sine și de unele teorii relevante ale seturilor.