Langlands derivate: Rezolvări monomiale ale reprezentărilor admisibile

Titlul original:

Derived Langlands: Monomial Resolutions of Admissible Representations

Conținutul cărții:

Programul Langlands este unul dintre cele mai importante domenii ale matematicii pure moderne. Importanța acestui volum constă în potențialul său de a reformula multe aspecte ale programului într-un context complet nou.

De exemplu, morfismele din categoria monomială a unui grup Lie local p-adic au o descriere distribuțională, datorată lui Bruhat în teza sa. Reprezentările admisibile în program sunt adesea tratate prin intermediul algebrelor de convoluție ale distribuțiilor și al reprezentărilor algebrelor Hecke. Încorporarea monomială, introdusă în această carte, se potrivește elegant cu aceste două utilizări ale teoriei distribuțiilor.

Autorul urmărește această aplicație prin prezentarea tratamentului categoriei monomiale a centrului Bernstein, clasificat de Deligne-Bernstein-Zelevinsky.

Această carte oferă un nou cadru categorial în care să se abordeze subiecte bine cunoscute. Prin urmare, contextul utilizat pentru explicarea exemplelor este adesea cazul mai general accesibil al reprezentărilor grupurilor liniare generale finite.

De exemplu, schimbarea bazei Galois și factorii epsilon pentru grupurile Lie local p-adice sunt ilustrați prin coborârea analogă Shintani și, respectiv, prin sumele Kondo-Gauss. Sunt evidențiate grupurile liniare generale ale câmpurilor locale. Cu toate acestea, deoarece filosofia acestei cărți este în esență cea a teoriei homotopiei și a topologiei algebrice, ea include o scurtă anexă care arată cum construcțiile lui Bruhat-Tits, suficiente pentru grupul liniar general, pot fi generalizate la spațiile Tom Dieck (cunoscute acum ca spațiile Baum-Connes) atunci când G este un grup Lie local p-adic.

Scopul acestei monografii este de a descrie o înglobare functorială a categoriei reprezentărilor k admisibile ale unui grup topologic G local profinit în categoria derivată a categoriei aditive a categoriei modulului k-monomial admisibil. Experții în programul Langlands ar putea fi interesați să afle că, atunci când G este un grup Lie local p-adic, categoria monomială este strâns legată de categoria modulelor topologice peste un fel de algebră Hecke extinsă cu generatori care corespund caracterelor pe compact deschis modulo subgrupurile centrale ale lui G. După stabilirea acestei încorporări functoriale, se examinează modul în care ingredientele celebrului program Langlands se adaptează la contextul categoriei modulului monomial derivat.

Acestea includ reprezentările automorfe, factorii epsilon și funcțiile L, formele modulare, reprezentările Weil-Deligne, schimbarea bazei Galois și operatorii Hecke.