Puncte raționale pe curbe eliptice

Recenzii ale cititorilor

Cartea este o introducere foarte recomandată la curbele eliptice și teoria numerelor, remarcându-se prin accesibilitatea sa pentru matematicienii și studenții care nu sunt licențiați. Deși nu este riguroasă în demonstrațiile sale, aceasta acoperă în mod eficient conceptele esențiale și include exerciții pentru înțelegere. Scrierea este lăudată pentru că este clară și ușor de urmărit, ceea ce o face potrivită pentru studiu individual.

Bine scrisă, ușor de înțeles, accesibilă matematicienilor neuniversitari, furnizează informații utile fără detalii tehnice copleșitoare, include exerciții care promovează implicarea în material și este atractivă din punct de vedere vizual.

Lipsesc demonstrațiile riguroase pentru teoreme, poate fi prea simplificată pentru unii cititori avansați, iar unele demonstrații pot fi lungi pentru cei cu o pregătire matematică solidă.

(pe baza a 8 recenzii ale cititorilor)

Titlul original:

Rational Points on Elliptic Curves

Conținutul cărții:

Teoria curbelor eliptice implică o combinație plăcută de algebră, geometrie, analiză și teoria numerelor. Acest volum subliniază această interacțiune pe măsură ce dezvoltă teoria de bază, oferind astfel o oportunitate pentru studenții avansați de a aprecia unitatea matematicii moderne.

În același timp, au fost depuse toate eforturile pentru a utiliza numai metode și rezultate incluse în mod obișnuit în programa de licență. Această accesibilitate, stilul informal de scriere și multitudinea de exerciții fac din punctele raționale pe curbe eliptice o introducere ideală pentru studenții de toate nivelurile care sunt interesați să învețe despre ecuațiile diofantice și geometria aritmetică. Mai concret, o curbă eliptică este setul de zerouri ale unui polinom cubic în două variabile.

Dacă polinomul are coeficienți raționali, atunci se poate cere o descriere a acelor zerouri ale căror coordonate sunt fie numere întregi, fie numere raționale. Această întrebare din teoria numerelor este subiectul principal al lucrării Rational Points on Elliptic Curves.

Subiectele abordate includ geometria și structura de grup a curbelor eliptice, teorema Nagell-Lutz care descrie punctele de ordin finit, teorema Mordell-Weil privind generarea finită a grupului de puncte raționale, teorema Thue-Siegel privind finitudinea setului de puncte întregi, teoreme privind numărarea punctelor cu coordonate în câmpuri finite, algoritmul de factorizare a curbelor eliptice al lui Lenstra și o discuție despre multiplicarea complexă și reprezentările Galois asociate punctelor de torsiune. Alte subiecte noi în ediția a doua includ o introducere în criptografia cu curbe eliptice și o scurtă discuție despre demonstrarea uimitoare a ultimei teoreme a lui Fermat de către Wiles et al.

prin utilizarea curbelor eliptice.